Question

已知函数f（x）=x³+ax与g（x）=bx²+c的图象相交于一点P（t，0），且t≠0两函数的图象在点P处有相同的切线．
（1）当t=1时，求a，b，c．
（2）若函数y=g（x）-f（x）在（-1，3）上单调递增，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知f′（1）=g′（1），且f（1）=g（1）=0进而得到3+a=2b，且1+a=0，b+c=0，解之可得a，b，c的答案．             
（2）由题意得a=-t²，b=t，c=-t³，所以y=f（x）-g（x）=x³-t²x-tx²+t³，所以y′=3x²-2tx-t²=（3x+t）（x-t）．由题意得函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，所以y′≤0在（-1，3）上恒成立．所以y′|_x=-1≤0且y′|_x=3≤0，即可解出答案t≥3或t≤-9．

解答：解：（1）由已知f′（1）=g′（1），且f（1）=g（1）=0
∴3+a=2b，且1+a=0，b+c=0          
得：a=-1，b=1，c=-1．            
（2）由题意得f（t）=t³+at=0，g（t）=bt²+c=0，且f′（t）=g′（t），
所以a=-t²，b=t，c=-t³
所以y=f（x）-g（x）=x³-t²x-tx²+t³
所以y′=3x²-2tx-t²=（3x+t）（x-t）
因为y=g（x）-f（x）在（-1，3）上单调递增
所以函数y=f（x）-g（x）在（-1，3）上单调递减，
因为y′=3x²-2tx-t²开口向上，
∴y′|_x=-1≤0且y′|_x=3≤0；即3+2t-t²≤0，27-6t-t²≤0
所以：t≥3或t≤-9．
所以t的取值范围t≥3或t≤-9．

点评：本题注意考查利用导数求曲线的切线和利用导数判断函数的单调性，解决此类问题的关键是正确理解导数的几何意义以及正确的进行导数运算．