Question

已知函数f（x）=lnx，其导函数为f′（x），令φ（x）=f′（x）．
（1）设g（x）=f（x+a）+φ（x+a），求函数g（x）的极值；
（2）设
（i）求证：；
（ii）是否存在正整数n，使得当n＞n时，都有成立？若存在，求出一个满足条件的
n的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求g（x）的导函数，再确定其单调性，从而确定函数的极值；
（2）（i）先证明，再进行累加可证；（ii）又，由（i）知，从而可以得n＞2010时，有，进一步有，从而可证．
解答：解：（1）因为，∴x∈（-a，1-a]时，函数g（x）为减函数，当x∈[1-a，+∞），函数g（x）为增函数，所以当x=1-a时，函数g（x）取得极小值g（1-a）=1，没有极大值；
（2）∵
（i）取a=1，由（1）知，当x＞0时有g（x）＞g（0）=1，即，∴，即
令，即，∴
分别取k=1，2，，n并累加得，∴
（ii）又，∴
由（i）知，即
当，即n＞2010时，有
令，∴
∴p（x）在[0，1）上为增函数，∴p（x）＞p（0），∴，∴
∴
分别取k=1，2，，n并累加得
综上所述，存在正整数n=2010，使得当n＞n时，都有成立．
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查不等式的证明，难度较大，有一定的技巧．