Question

【题目】已知椭圆上的点（不包括横轴上点）满足：与，两点连线的斜率之积等于，，两点也在曲线上.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点作斜率为1的直线交椭圆于，两点，求；

（3）求椭圆上的点到直线距离的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由题中与，两点连线的斜率之积等于列出等量关系，化简整理即可求出结果；

（2）先求出过椭圆的右焦点且斜率为1的直线方程，代入椭圆方程，求出交点横坐标，再由弦长公式即可求出结果；

（3）设出与直线平行、且与椭圆相切的直线方程，代入椭圆方程，由判别式等于0，求出切线方程，再由两条平行线间的距离公式求解即可.

（1）因为与，两点连线的斜率之积等于

所以，，

整理得：即为所求;

（2）由题意可得过椭圆的右焦点且斜率为1的直线为，代入椭圆方程得，化简整理得，所以，或

∴

（3）设是椭圆的切线，代入椭圆方程得：

则，即

由得.

直线与距离为，

所以当时，距离最小为.