Question

已知函数f（x）=lnx-2x，（K是常数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x恒成立，求K的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=lnx-2kx得，f′(x)=

1

x

-2k，根据k的不同取值进行分类讨论，能求出函数f（x）的单调区间．
（2）由f（x）＜x恒成立，得lnx-2kx-x＜0恒成立，x∈（0，+∞）．即2kx＞lnx-x，由此入手，能够求出k的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）=lnx-2kx，
得f′(x)=

1

x

-2k…（1分）
∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴当k≤0时，f′(x)=

1

x

-2k＞0，f（x）在（0，+∞）是增函数．   …（3分）
当k＞0时，由

1

x

-2k＞0可得x＜

1

2k

，
∴f（x）在（0，

1

2k

）是增函数，在（

1

2k

，+∞）是减函数．         …（5分）
综上，当k≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当K＞0时，f（x）的单调增区间是（0，

1

2k

），单调减区间是（

1

2k

，+∞）．…（6分）
（2）由f（x）＜x恒成立，得lnx-2kx-x＜0恒成立，x∈（0，+∞）．
即2kx＞lnx-x，
∴2k＞

lnx

x

-1恒成立． …（8分）
设g(x)=

lnx

x

-1，则g′(x)=

1-lnx

x2

，
令g′(x)=

1-lnx

x2

=0得x=e．
当0＜x＜e时，g′（x）＞0，当x＞e时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减．               …（10分）
∴g（x）=

lnx

x

-1在x=e时取得极大值g(e)=

1

e

-1，
且为g（x）在（0，+∞）上的最大值．
∴2k＞

1

e

-1，k＞

1-e

2e

x₂，y₂…（11分）
∴k的取值范围是(

1-e

2e

，+∞)．…（12分）

点评：本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．