Question

在平面直角坐标系中，点A（1，0）、B（-1，0），已知|CA|=2

2

，BC的垂直平分线l交AC于D，当点C动点时，D点的轨迹图形设为E．
（1）求E的标准方程；
（2）点P为E上一动点，点O为坐标原点，设|PA|²=1+λ|PO|²，求λ的最大值．

Answer 1

分析：（1）．设D（x，y），结合图象由垂直平分线的性质结合椭圆的定义知，点E的轨迹是椭圆，由定义求出参数，得出标准方程；
（2）设P(x，y)x∈[-

2

，

2

]，得出PO²=x²+y²，PA²=（x-1）²+y²，整理表示出λ，建立关于此参数的函数关系式，根据所得的形式讨论最值求λ的最大值

解答：解：（1）．设D（x，y）
∵l是BC的垂直平分线，
∴|DB|=|DC|
∴|DB|+|DA|=|AC|=2

2

＞2=|AB|
∴D点的轨迹图形E是A，B为焦点的椭圆 （3分）
其中2a=2

2

，c=1，
∴a=

2

，b²=a²-c²=1    （5分）
∴D点的轨迹图形E：

x2

2

+y2=1   （7分）
（2）设P(x，y)x∈[-

2

，

2

]，
则PO²=x²+y²，（8分）
PA²=（x-1）²+y²    （9分）
λ=

PA2-1

PO2

=

(x-1)2+y2-1

x2+y2

=

x2-2X+y2

x2+y2

=1-

2X

x2+y2

   （10分）
点P（x，y）满足

x2

2

+y2=1，∴y2=1-

x2

2

，（11分）
λ=1-

2x

x2 2 +1

=1-

4X

x2+2

  （12分）
当x≥0时，λ≤1
当x＜0时，设t=-x，则t∈（0，

2

]，λ=1+

4t

t2+2

=1+

4

t+ 2 t

 （13分）
因为t+

2

t

≥2

2

，所以λ≤1+

2

，
当且仅当t=

2

时，即x=-

2

时，λ取得最大值1+

2

． （14分）

点评：本题考查椭圆的性质，解题的关键是熟练掌握椭圆的定义，求了椭圆的方程，第二问中求参数的最值的问题要注意函数思想的使用，一般求最值的题都可以把要求的最值表示成相应的函数，利用所得的函数解析式求参数的最值．本题运算量大，符号运算极易出错，做题时要认真，严谨，避免因为运算出错，导致解题失败．本题考查了变形的能力，推理的能力以及运算能力，数形结合的技巧．