Question

△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

2

sin2

C

2

+cos

C

2

=

2

（1）求角C的大小；
（2）若a，b，c成等比数列，求sinA的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的式子利用同角三角函数间的基本关系化为关于cos

C

2

的方程，因式分解即可得到cos

C

2

的值，然后根据

C

2

的范围及特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（2）由a，b，c成等比数列得到b²=ac，由（1）得到此三角形为直角三角形，根据勾股定理列出三边的关系，两者联立消去b后得到关于a和c的方程，两边同除以c²，根据正弦函数的定义得到关于sinA的方程，求出方程的解即可得到sinA的值．

解答：解：（1）由

2

sin2

C

2

+cos

C

2

=

2

，
得

2

(1-cos2

C

2

)+cos

C

2

=

2

，
整理得cos

C

2

(

2

cos

C

2

-1)=0，
因为在△ABC中，0＜C＜π，所以0＜

C

2

＜

π

2

，
所以cos

C

2

=

2

2

（舍去cos

C

2

=0），
从而

C

2

=

π

4

，即C=

π

2

；
（2）解：因为a，b，c成等比数列，所以b²=ac，
由（1）知，△ABC是以角C为直角的直角三角形，
所以c²=a²+b²，将b²=ac代入
整理得a²+ac-c²=0，
上式两边同除以c²，得

a2

c2

+

a

c

-1=0，
因为sinA=

a

c

，所以sin²A+sinA-1=0，
注意到0＜A＜

π

2

解得sinA=

5 -1

2

（舍去sinA=

-1- 5

2

）．

点评：此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，掌握等比数列的性质，是一道综合题，学生做题时应注意角度的范围，搞清题中的cos

C

2

=0与sinA=

-1- 5

2

舍去的原因．