Question

若F₁F₂为双曲线-=1的左右焦点，O为坐标原点，P在双曲线左支上，M在右准线上，且满足=，=
（1）求此双曲线的离心率；
（2）若此双曲线过点N（2，），求双曲线方程；
（3）设（2）中双曲线的虚轴端点为B₁，B₂（B₁在y轴正半轴上），求B₂作直线AB与双曲线交于A B两点，求⊥时，直线AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由知四边形PF₁OM为平行四边形，再利用得PF₁OM为菱形，所以就有
求出离心率e即可．
（2）由（1）求出的离心率e以及双曲线过点N（2，），可以求出c，a进而求出双曲线方程；
（3）先设出直线AB的方程，再与双曲线方程联立，求出关于A，B两点坐标的方程，再利用⊥⇒x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=0，就可求出对应的直线的斜率，进而求出直线AB的方程．
解答：解：（1）由知四边形PF₁OM为平行四边形，
又由
知OP平分∠F₁OM，∴PF₁OM为菱形，
设半焦距为c，由=c 知=c，
，∴，
又，即
e²-e-2=0，∴e=2（e=-1舍去）（4分）
（2）∵e=2=∴c=2a，∴双曲线方程为，
将点（2，）代入，有∴a²=3．
即所求双曲线方程为．（8分）
（3）依题意得B₁（0，3），B₂（0，-3）
设直线AB的方程为y=kx-3，A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
则由．
∵双曲线的渐近线为y=±x，∴k=±时，AB与双曲线只有一个交点，
即k≠±∵x₁+x₂=-，x₁•x₂=．
y₁+y₂=k（x₁+x₂）-6=，y₁y₂=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+9=9
又=（x₁，y₁-3），=（x₂，y₂-3），
⇒x₁x₂+y₁y₂-3（y₁+y₂）+9=0，
∴，即k²=5∴k=±．
故所求直线AB的方程为y=x-3或y=-x-3．（14分）
点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．