Question

13．设函数f（x）=ax²+x+1．
（1）若a=-1，求f（x）在区间[-1，3]上的值域．
（2）如果当x∈（0，2]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）a=-1时，得到f（x）=$-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}$，显然x=$-\frac{1}{2}$时，f（x）取到最大值$\frac{5}{4}$，再比较f（-1），f（3）便可得出该函数的值域；
（2）f（0）=1＞0，要使x∈（0，2]时，f（x）＞0恒成立，首先满足f（2）＞0，再满足$-\frac{1}{2a}＜0$，或$-\frac{1}{2a}＞2$，这样解不等式即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）a=-1时，f（x）=-x²+x+1=$-（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{5}{4}≤\frac{5}{4}$；
又f（-1）=-1，f（3）=-5；
∴$-5≤f（x）≤\frac{5}{4}$；
∴该函数的值域为$[-5，\frac{5}{4}]$；
（2）①若a=0，f（x）=x+1；
∵x∈（0，2]；
∴f（x）＞0恒成立；
②若a≠0，f（0）=1＞0，则a应满足：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2a}＜0}\\{f（2）=4a+3＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2a}＞2}\\{f（2）=4a+3＞0}\end{array}\right.$；
解得a＞0，或$-\frac{3}{4}$＜a＜0；
∴实数a的取值范围为（$-\frac{3}{4}$，+∞）．

点评 考查通过配方求二次函数的值域，二次函数的对称轴，要熟悉二次函数的图象，不要漏了a=0的情况．