Question

【题目】如图，一个正和一个平行四边形ABDE在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G.现沿直线AB将翻折成，使二面角为，设CE中点为H.

（1）（i）求证：平面平面AGH；

（ii）求异面直线AB与CE所成角的正切值；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1) （i）证明见解析；（ii） (2)

【解析】

（1）（i）通过证明四边形为平行四边形证得；通过三角形中位线证得，由此证得平面平面AGH.

（ii）根据和判断是两个异面直线与所成角.用勾股定理求得，利用余弦定理求得，由此求得异面直线与所成角的正切值.

（2）根据二面角的定义，判断出即为二面角的平面角，利用余弦定理求得二面角的余弦值.

（1）（i）证明：连FD.因为ABDE为平行四边形，F、G分别为AB、DE中点，

所以FDGA为平行四边形，所以.-

又H、G分别为CE、DE的中点，所以.

FD、平面AGH，AG、平面AGH，所以平面AGH，平面AGH，而FD、平面CDF，所以平面平面AGH.

（ii）因为，所以或其补角即为异面直线AB与CE所成的角.

因为ABC为正三角形，，F为AB中点，所以，,从而平面CFD，而，所以平面CFD，因为平面CFD，所以.-

由条件易得，，又为二面角的平面角，所以，所以，所以.

（2）由（1）的（ii）知平面CFD，即，，所以即为二面角的平面角.

.