题目内容
如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，M是棱AA1的中点，O是BD1的中点，求证：OM是异面直线AA1与BD1的公垂线，并求OM的长.
思路解析：本题利用两条异面直线间的距离的求法和异面直线公垂线的定义.
解：以点O为原点建立坐标系，得下列坐标：A(0,0,0),B(0,1,0),O(-
,
,
),A1(0,0,1),D1(-1,0,1),M(0,0,
).
因为
·
=0, 
·
=0,所以OM⊥AA1,OM⊥BD1.
又OM与AA1、BD1都相交，所以OM是异面直线AA1与BD1的公垂线.
|OM|=
.
方法归纳 对于正方体模型以及存在面面垂直或三条直线两两垂直的问题，建立空间直角坐标系，利用向量法证明垂直或求长度问题比较简单、易行.
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