Question

如图,在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,∠ACB=90°,AC=1,CB=,侧棱AA₁=1,侧面AA₁B₁B的两条对角线交于点D,B₁C₁的中点为M,

(1)求证:CD⊥平面BDM;

(2)求面B₁BD与面CBD所成的二面角的大小.

Answer 1

解：如图，以C为原点建立坐标系.

(1)证明如下,C(0,0,0),B(,0,0),B₁(,1,0),A₁(0,1,1),D(,,),

M(,1,0)，

=(,,),=(2,-1,-1),=(0,,-),

则·=0，·=0，

所以CD⊥A₁B，CD⊥DM.

因为A₁B,DM为平面BDM内两条相交直线,

所以CD⊥平面BDM.

(2)设BD中点为G,连结B₁G,则

G(,,),=(-,,),=(-,-,),

所以·=0.

所以BD⊥B₁G.

又CD⊥BD,所以与的夹角θ等于所求二面角的平面角,即

cosθ=.

所以所求二面角的大小等于π-arccos.