Question

在直角坐标系xOy中,点P到两点(0,)、(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C,直线y=kx+1与C交于A、B两点.

(1)写出C的方程;

(2)若⊥,求k的值;

(3)若点A在第一象限,证明当k＞0时,恒有||＞||.

Answer 1

本题主要考查平面向量,椭圆的定义、标准方程及直线与椭圆位置关系等基础知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力.

解:(1)设P(x,y),由椭圆定义可知,点P的轨迹C是以(0,-),(0,)为焦点,长半轴为2的椭圆,它的短半轴b==1,

故曲线C的方程为x²+=1.

(2)设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),其坐标满足

消去y并整理得(k²+4)x²+2kx-3=0,

故x₁+x₂=,x₁x₂=.

若⊥,即x₁x₂+y₁y₂=0.

而y₁y₂=k²x₁x₂+k(x₁+x₂)+1,

于是x₁x₂+y₁y₂=·+1=0,

化简得-4k²+1=0,所以k=±.                                                 

(3)||²-||²=x₁²+y₁²-(x₂²+y₂²)

=(x₁²-x₂²)+4(1-x₁²-1+x₂²)

=-3(x₁-x₂)(x₁+x₂)=.

因为A在第一象限,故x₁＞0.

由x₁x₂=知x₂＜0,从而x₁-x₂＞0.

又k＞0,故||²-||²＞0,

即在题设条件下,恒有||＞||.