Question

已知二元一次不等式组

x+y-4≥0 x-y-2≤0 x-3y+4≥0

所表示的平面区域为M，若M与圆（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）至少有两个公共点，则实数a的取值范围是（　　）

• A、(

  1

  2

  ，5)
• B、(1，

  5

  2

  )
• C、(

  1

  2

  ，5]
• D、(

  1

  2

  ，

  5

  2

  ]

Answer 1

分析：先画出二元一次不等式组

x+y-4≥0 x-y-2≤0 x-3y+4≥0

所表示的平面区域为M，不等式组围成的平面区域是一个三角形，分别考虑临界位置求出相应的半径，从而求出a的取值范围．

解答：解：先画出二元一次不等式组

x+y-4≥0 x-y-2≤0 x-3y+4≥0

所表示的平面区域为M，
当圆（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）与AB相切时只有一个交点
此时圆的半径为r=

|1|

2

=

2

2

=

a

∴a=

1

2

当圆（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）过点B（5，3）与点C（2，2）时却好有两个交点
此时圆的半径为r=

5

=

a

∴a=5
∴M与圆（x-4）²+（y-1）²=a（a＞0）至少有两个公共点，则实数a的取值范围是(

1

2

，5]
故选C．

点评：考查学生会根据二元一次不等式组得到一个平面区域，会根据条件求圆的方程．学生做题时应注意利用数形结合的思想解决数学问题，解决本题的关键是找出临界位置．