Question

已知A、B为椭圆

x2

m2

+

25y2

9m2

=1（m＞0）上两点，F₂为椭圆的右焦点，若|AF₂|+|BF₂|=

8

5

m
（1）求椭圆的离心率e．
（2）若AB中点到椭圆左准线的距离为

3

2

，求该椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）由椭圆的方程与性质可得：a2=m2，b2=

9

25

m2，即可得到c2=a2-b2=

16

25

m2，再根据离心率与a，c的关系求出离心率．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由焦半径公式有m-ex₁+m-ex₂=

8

5

m，可得AB中点横坐标为

1

4

m，求出椭圆的左准线方程为x=-

5

4

m，进而结合求出答案．

解答：解：（1）由椭圆的方程与性质可得：a2=m2，b2=

9

25

m2，
所以c2=a2-b2=

16

25

m2，
所以e2=

c2

a2

=

16

25

，
所以e=

4

5

．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵e=

4

5

，
∴由焦半径公式有m-ex₁+m-ex₂=

8

5

m，
∴x₁+x₂=

1

2

m，即AB中点横坐标为

1

4

m，
又∵椭圆的左准线方程为x=-

5

4

m，
∴

1

4

m+

5

4

m=

3

2

，即m=1，
∴椭圆方程为x2+

25

9

y2=1．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的方程与性质，以及椭圆的第二定义与椭圆的焦半径公式，此题综合性较强属于中档题．