题目内容
已知离心率为
| ||
| 2 |
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
| 6 |
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A、B为椭圆C上相异两点，且
| OA |
| OB |
| 8 |
| 3 |
分析：（1）由
，能求出椭圆C的方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+m，由
，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，由△=8（8k2-m2+4）＞0，知8k2-m2+4＞0，由韦达定理得：
，y1•y2=（kx1+m）•（kx2+m）=
．由
⊥
得x1x2+y1y2=0．由圆心到直线的距离d=
，能够推导出直线AB与圆O相切．
|
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+m，由
|
|
| m2-8k2 |
| 1+2k2 |
| OA |
| OB |
| |m| | ||
|
解答：解：（1）由
，解得：
，故椭圆C的方程为
+
=1．（4分）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+m，
由
，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，（1分）
则△=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0，
由韦达定理得：
，（1分）
则y1•y2=（kx1+m）•（kx2+m）
=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=
．
由
⊥
得：
x1x2+y1y2=0，（1分）
即
+
=0，化简得：3m2-8k2-8=0，（1分）
因为圆心到直线的距离d=
，（1分）
d2=
=
=
，
而r2=
，∴d2=r2，即d=r．（1分）
此时直线AB与圆O相切
当直线AB的斜率不存在时，由
⊥
可以计算得A，B的坐标为(
，±
)或(-
，±
)．
此时直线AB的方程为x=±
．
满足圆心到直线的距离等于半径，即直线AB与圆O相切．（1分）
综上，直线AB与圆O相切．（1分）
|
|
| x2 |
| 8 |
| y2 |
| 4 |
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为：y=kx+m，
由
|
则△=8（8k2-m2+4）＞0，即8k2-m2+4＞0，
由韦达定理得：
|
则y1•y2=（kx1+m）•（kx2+m）
=k2x1x2+km（x1+x2）+m2
=
| m2-8k2 |
| 1+2k2 |
由
| OA |
| OB |
x1x2+y1y2=0，（1分）
即
| 2m2-8 |
| 1+2k2 |
| m2-8k2 |
| 1+2k2 |
因为圆心到直线的距离d=
| |m| | ||
|
d2=
| m2 |
| 1+k2 |
| m2 | ||
1+
|
| 8 |
| 3 |
而r2=
| 8 |
| 3 |
此时直线AB与圆O相切
当直线AB的斜率不存在时，由
| OA |
| OB |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
此时直线AB的方程为x=±
2
| ||
| 3 |
满足圆心到直线的距离等于半径，即直线AB与圆O相切．（1分）
综上，直线AB与圆O相切．（1分）
点评：本题考查椭圆C的方程，判定直线与圆的位置关系，并证明．解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用椭圆性质，合理地进行等价转化．
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