Question

已知抛物线y²=4x与椭圆x²+

y2

a2

=1（a＞1）交于A、B两点，点F为抛物线的焦点，若∠AFB=120°，则椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3

  3

• B．

  6

  6

• C．

  6

  3

• D．

  6

  2

Answer 1

分析：先根据题意画出图形，再由椭圆和抛物线的对称性，求出∠AFD=60°，由抛物线y²=4x（p＞0）求焦点F坐标，再设AF=2m，利用三角函数用m表示出AD和FD，再根据点F得位置进行分类，表示出A的坐标，代入抛物线和椭圆方程求出m和a的值，再由a、b、c和定义求得椭圆的离心率．

解答：解：由题意画出如图形如下：设AB于x轴的交点是D，
∵y²=4x，∴焦点F（1，0），
由椭圆和抛物线的对称性得，AB⊥x轴，∠AFD=60°，
设AF=2m（m＞0），在RT△AFD中，FD=m，AD=

3

m，
（1）当点F在椭圆的内部时，由图得A（1+m，

3

m），代入y²=4x得，3m²-4m-4=0，
解得，m=2或-

2

3

（舍去），则A（3，2

3

），把点A代入x²+

y2

a2

=1，解得：无解；
（2）当点F在椭圆的外部时，由图得有A（1-m，

3

m），代入y²=4x得，3m²+4m-4=0，
解得，m=

2

3

或-2（舍去），则A（

1

3

，

2 3

3

），把点A代入x²+

y2

a2

=1，
解得a²=

3

2

，故c²=a²-1=

1

2

，
∴e=

c

a

=

1

3

=

3

3

．
故选A．

点评：本题考查了椭圆与抛物线的综合问题．在求椭圆的离心率时，一般是求出a和c，也可以先求出b和c或a，b；再利用a，b，c之间的关系来求离心率e，本题易错的地方是对应焦点F的位置忘记分类讨论．