Question

如图，已知PA⊥正方形ABCD所在平面，E、F分别是AB，PC的中点，∠PDA=45°．（1）求证：EF∥面PAD．
（2）求证：面PCE⊥面PCD．

Answer 1

分析：（1）取PD中点为G，证明EFGA为平行四边形，由EF∥AG，证明EF∥面PAD．
（2）由线面垂直的判定定理证明AG⊥面PCD，从而得到EF⊥面PCD，面PCE⊥面PCD．

解答：解：（1）取PD中点为G，连FG、AG，∵F，G分别为中点，∴FG∥CD，且 FG=

1

2

CD．AE∥CD，且 AE=

1

2

CD，
即四边形EFGA为平行四边形，∴EF∥AG，又EF?面PAD，AG?面PAD，∴EF∥面PAD．
（2）PA⊥面ABCD∴PA⊥AD，PA⊥CD∴Rt△PAD中，∠PDA=45°∴PA=AD，AG⊥PD，又CD⊥AD，CD⊥PA，
且PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AG，又PD∩CD=D，∴AG⊥面PCD，
由（1）知EF∥AG∴EF⊥面PCD，又EF?面PCE，∴面PCE⊥面PCD．

点评：本题考查两个平面垂直的判定定理的应用以及证明线面平行的方法．