Question

二次函数f（x）与g（x）=

1

2

x²-1的图象开口大小相同，开口方向也相同，y=f（x）的对称轴方程为x=1，图象过点（2，

3

2

）点
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在大于1的实数m，使y=f（x）在[1，m]上的值域是[1，m]？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出f（x）的解析式，利用图象过点（2，

3

2

）点，求出函数的解析式；
（2）设出函数y=f（x）利用函数在[1，m]上的值域是[1，m]，利用单调性求出m值即可．

解答：解：（1）由题意设f（x）=

1

2

（x-1）²+k  代入（2，

3

2

）⇒k=1
∴f（x）=

1

2

（x-1）²+1
（2）假设存在，则y=f（x）在[1，m]上单调增函数，
所以f（m）=m
即

1

2

（m-1）²+1=m⇒m=1，m=3
又m＞1
∴m=3
存在m=3符合题意．

点评：本题是基础题，考查二次函数在闭区间上的最值，解析式的求法，函数的单调性，考查计算能力．