Question

函数f（x）=A（sin2ωxcos?+2cos²ωx•sin?）-Asin?（x∈R，A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为P（

1

3

，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（

5

6

，0）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间[

21

4

，

23

4

]上的对称轴的方程．

Answer 1

分析：（1）根据所给的三角函数的形式，利用二倍角公式把三角函数整理成y=Asin（2ωx+?），根据所给的两个点，看出周期和振幅，代入一个点的坐标和初相的范围求出初相，得到三角函数的解析式．
（2）根据正弦函数的对称轴的表示形式，把πx+

π

6

等于对称轴表示的形式，根据对称轴要求的范围，求出结果．

解答：解：（1）∵f（x）=A（sin2ωxcos?+2cos²ωx•sin?）-Asin?=Asin（2ωx+?），
∵图象在y轴右侧的第一个最高点为P（

1

3

，2），在原点右侧与x轴的第一个交点为Q（

5

6

，0）．
∴A=2，

T

4

=

5

6

-

1

3

  
∴T=2  
∴2ω=

2π

T

=π
将点P(

1

3

，2)代入y=2sin（πx+φ）得：sin(

π

3

+φ)=1，即

π

3

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z
所以?=2kπ+

π

6

(k∈Z)，
∵|?|＜

π

2

∴?=

π

6

∴函数的表达式为f(x)=2sin(πx+

π

6

)(x∈R)
（2）根据正弦函数的对称轴得到
πx+

π

6

=kπ+

π

2

(k∈z)
解得：x=k+

1

3

．
∵

21

4

≤k+

1

3

≤

23

4

，解得

59

12

≤k≤

65

12

由于k∈Z，所以k=5
所以函数f（x）在区间[

21

4

，

23

4

]上的对称轴的方程为x=

16

3

．

点评：本题考查根据所给的确定三角函数的解析式，考查对三角函数进行恒等变形，考查三角函数的对称性，本题解题的关键是确定三角函数的解析式，特别是对于初相的确定是一个难点，本题是一个中档题目．