Question

已知函数ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，其中t为常数，且t＞0．
（Ⅰ）求函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）数列{a_n}中，a1=

2

3

，a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对任意的x＞0，an≥f

1

2n

(x)，n=1，2，…．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出f_t′（x）=0得到x的值，利用x的取值讨论导函数的正负即可得到函数的单调性，得出函数的最大值；
（Ⅱ）由a_n+1a_n=2a_n-a_n+1，等式两边都除以2a_n+1•a_n得到

1

an+1

=

1

2

•

1

an

+

1

2

即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)得到数列{

1

an

-1}是以

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，根据等比数列的性质得到通项公式；
（Ⅲ）令t=

1

2n

，则f

1

2n

(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

1

2n

-x)，由（1）知f

1

2n

（t）最大，得到an≥f

1

2n

(x)(n=1，2，)不等式成立．

解答：解：（Ⅰ）由ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，得
则ft′(x)=-

1

(1+x)2

-

-(1+x)2-(t-x)•2(1+x)

(1+x)4

=

2(t-x)

(1+x)3

（2分）
∵x＞0，
∴当x＜t时，f'_t（x）＞0；当x＞t时，f'_t（x）＜0，
∴当x=t时，f_t（x）取得最大值ft(t)=

1

1+t

．（4分）
（Ⅱ）由题意知

1

an+1

=

1

2

•

1

an

+

1

2

，即

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)（6分）
∴数列{

1

an

-1}是以

1

a1

-1=

1

2

为首项，

1

2

为公比的等比数列，
∴

1

an

-1=

1

2

•(

1

2

)n-1，即a_n=

2n

2n+1

（8分）
（Ⅲ）令t=

1

2n

＞0，则f

1

2n

(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

1

2n

-x)（10分）
由（Ⅰ）可知，f

1

2n

(x)≤f

1

2n

(

1

2n

)=

1

1+ 1 2n

=

2n

2n+1

=an．（13分）
∴对任意的x＞0，不等式an≥f

1

2n

(x)(n=1，2，)成立．（14分）

点评：考查学生利用导数求闭区间上函数最值的能力，利用数列的递推式求数列通项公式的能力，以及会证明不等式恒成立的条件．