Question

8．已知圆C的圆心在直线y=x-2上
（Ⅰ）若圆经过A（3，-2）和B（0，-5）两点．
（i）求圆C的方程；
（ii）设圆C与y轴另一交点为P，直线l过点P且与圆C相切．设D是圆C上异于P，B的动点，直线BD与直线l交于点R．试判断以PR为直径的圆与直线CD的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）设点M（0，3），若圆C半径为3，且圆C上存在点N，使|MN|=2|NO|，求圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）（i）设圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，利用待定系数法求圆C的方程；
（ii）求出以PR为直径的圆的圆心S到CD的距离，证明d=r，即可得出结论；
（Ⅱ）点N在圆E：x²+（y+1）²=4上，又点N在圆C上，圆E与圆C有公共点，进而确定不等式关系求得a的范围．

解答 解：（Ⅰ）设圆方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，则圆心为$（-\frac{D}{2}，-\frac{E}{2}）$．…（1分）
（i）由题意知$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{E}{2}=-\frac{D}{2}-2}\\{13+3D-2E+F=0}\\ \begin{array}{l}\\ 25-5E+F=0\end{array}\end{array}}\right.$…（2分）
解得：D=0，E=4，F=-5∴圆C：x²+（y+2）²=9…（3分）
（ii）知P（0，1）、B（0，-5），则l：y=1
设D（m，n）（m≠0）$DB：\;y=\frac{n+5}{m}x-5$，$R（\frac{6m}{n+5}，\;1）$
以PR为直径的圆的圆心$S（\frac{3m}{n+5}，\;1）$，半径$r=\frac{3|m|}{|n+5|}$ …．（5分）
$CD：y=\frac{n+2}{m}x-2$即（n+2）x-my-2m=0…（6分）
以PR为直径的圆的圆心S到CD的距离设为d
则$d=\frac{{|{\frac{3m（n+2）}{n+5}-3m}|}}{{\sqrt{{{（n+2）}^2}+{m^2}}}}=\frac{9|m|}{{|n+5|\sqrt{{{（n+2）}^2}+{m^2}}}}$．…（7分）
又点D在圆C上，∴m²+（n+2）²=9，
∴$d=\frac{3|m|}{|n+5|}=r$
故以PR为直径的圆与直线CD总相切    …（8分）
（Ⅱ）设圆心C（a，a-2），设N（x，y），则
∵|MN|=2|NO|，
∴x²+（y-3）²=4x²+4y²，
∴点N在圆E：x²+（y+1）²=4上  …（10分）
又点N在圆C上，
∴圆E与圆C有公共点，
∴$3-2≤|EC|=\sqrt{2{a^2}-2a+1}≤3+2$…（11分）
∴-3≤a≤0或1≤a≤4…．（12分）

点评 本题主要考查了直线与圆的方程的应用．考查了学生的分析推理和基本的运算能力．