Question

在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处（

3

-1）海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2海里的C处的缉私船奉命以10

3

海里/每小时的速度追截走私船，此时，走私船正以10海里/每小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向能最快追上走私船？

Answer 1

分析：设缉私船追上走私船需t小时，进而可表示出CD和BD，进而在△ABC中利用余弦定理求得BC，进而在△BCD中，根据正弦定理可求得sin∠BCD的值，即可得到缉私船沿什么方向能最快追上走私船．

解答：解：如图所示，设缉私船追上走私船需t小时，
则有CD=10

3

t，，BD=10t．在△ABC中，
∵AB=

3

-1，AC=2，
∠BAC=45°+75°=120°．
根据余弦定理BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠BAC=(

3

-1)2+22+2×(

3

-1)×2×

1

2

=6可求得BC=

6

．
sin∠ABC=

AC

BC

•sin∠BAC=

2

6

•

3

2

=

2

2

，∴∠ABC=45°，∴BC与正北方向垂直，
∵∠CBD=90°+30°=120°．
在△BCD中，根据正弦定理可得
sin∠BCD=

BD•sin∠CBD

CD

=

10t•sin120°

10 3 t

=

1

2

，
∴∠BCD=30°
所以缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船．

点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了运用三角函数的基础知识解决实际的问题．