Question

在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A(

3

-1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以10

3

nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．
（1）求线段BC的长度；
（2）求∠ACB的大小；
（参考数值：sin15°=

6 - 2

4

，cos15°=

6 + 2

4

）
（3）问缉私船沿北偏西多少度的方向能最快追上走私船？

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，∠CAB=120°由余弦定理可求得线段BC的长度；
（2）在△ABC中，由正弦定理，可求得sin∠ACB；
（3）设缉私船用t h在D处追上走私船，CD=10

3

t，BD=10t，在△ABC中，可求得∠CBD=120°，再在△BCD中，由正弦定理可求得sin∠BCD，从而可求得答案．

解答：解：（1）在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，…（1分）
由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠CAB…（2分）
=(

3

-1)2+2²-2×（

3

-1）×2×（-

1

2

）=6，…（3分）
所以，BC=

6

．…（4分）
（2）在△ABC中，由正弦定理，得

AB

sin∠ACB

=

BC

sin1200

，
所以，sin∠ACB=

AB•sin1200

BC

…（6分）
=

3 -1

2 2

=

6 - 2

4

．…（7分）
又∵0°＜∠ACB＜60°，
∴∠ACB=15°．…（8分）
（3）设缉私船用t h在D处追上走私船，如图，
则有CD=10

3

t，BD=10t．
在△ABC中，
又∠CBD=90°+30°=120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD=

BD•sin∠CBD

CD

 …（8分）
=

10t•sin120°

10 3 t

=

1

2

．…（10分）
∴∠BCD=30°，
又因为∠ACB=15°…（12分）
所以180⁰-（∠BCD+∠ACB+75°）=180°-（30°+15°+75°）=60°
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．?…（14分）

点评：本题考查余弦定理与正弦定理，考查解三角形，考查综合分析与运算能力，属于难题．