Question

已知向量

m

=（2acosx，sinx），

n

=（cosx，bcosx），f（x）=

m

•

n

-

3

2

，函数f（x）的图象在y轴上的截距为

3

2

，并且过点(

π

4

，

1

2

)
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若A是三角形的内角，f(

A

2

-

π

6

)=

2 5

5

，求

3sinA-2cosA

sinA+cosA

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由题设知f(x)=2acos2x+bsinxcosx-

3

2

，由f（0）=

3

2

，得a=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

，得b=1，因而f（x）=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=sin（2x+

π

3

），由此能求出函数f（x）的单调区间．
（Ⅱ） 由A是三角形的内角，f(

A

2

-

π

6

)=

2 5

5

，知sinA=

2 5

5

，则当A为锐角时cosA=

5

5

，由此能求出

3sinA-2cosA

sinA+cosA

．当A为钝角时cosA=-

5

5

，由此能求出

3sinA-2cosA

sinA+cosA

．

解答：解：（Ⅰ）∵向量

m

=（2acosx，sinx），

n

=（cosx，bcosx），
f（x）=

m

•

n

-

3

2

，
∴f(x)=2acos2x+bsinxcosx-

3

2

，
由已知，则f（0）=

3

2

，得a=

3

2

，f（

π

4

）=

1

2

，得b=1，
因而f（x）=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

=sin（2x+

π

3

），
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
得到函数f（x）的单调增区间为：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z，
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
得到函数f（x）的单调减区间为：[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，k∈Z．
（Ⅱ）∵A是三角形的内角，f(

A

2

-

π

6

)=

2 5

5

，
∴sinA=

2 5

5

，
则当A为锐角时cosA=

5

5

，

3sinA-2cosA

sinA+cosA

=

3× 2 5 5 -2× 5 5

2 5 5 + 5 5

=

4

3

，
当A为钝角时cosA=-

5

5

，

3sinA-2cosA

sinA+cosA

=

3× 2 5 5 +2× 5 5

2 5 5 - 5 5

=8．

点评：本题考查平面向量的综合应用和三角函数的综合应用．解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的合理运用．