Question

在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量

m

=（2b-c，cosC），

n

=（a，cosA），且

m

∥

n

，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据平面向量平行时满足的条件得到一个关系式，根据正弦定理及两角和的正弦函数公式化简后，即可得到cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的A的度数，利用三角形的内角和定理得到B+C的度数，用C表示出B，代入cosB+cosC，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的度数和三角形为锐角三角形，即可得到B的范围，进而得到这个角的取值范围，根据正弦函数的值域即可得到cosB+cosC的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为

m

∥

n

，所以（2b-c）cosA-acosC=0，
由正弦定理可得：2cosAsinB=cosAsinC+sinAcosC，
即2cosAsinB=sin（A+C），∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：B+C=

2π

3

，
所以cosB+cosC=cosB+cos（

2π

3

-B）=cosB-cos（

π

3

-B）=cosB-

1

2

cosB+

3

2

sinB=sin（B+

π

6

），
∵A=

π

3

且△ABC为锐角三角形，∴

π

6

＜B＜

π

2

，即

π

3

＜B+

π

6

＜

2π

3

，
∴

3

2

＜sin（B+

π

6

）≤1，所以cosB+cosC的取值范围是（

3

2

，1]

点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及两角和的正弦函数公式化简求值，灵活运用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值，掌握平面向量平行时满足的条件，是一道中档题．