Question

设对于任意的实数x，y，函数f（x，）g（x）满足f(x+1)=

1

2

f(x)，且f（0）=2，g（x+y）=g（x）+2y，g（3）=5，a_n=f（n），b_n=g（n），n?N^*． （Ⅰ）求数列a_n，b_n的通项公式b_n的通项公式
（Ⅱ）设c_n=a_nb_n，求数列c_n的n和S_n的前n和S_n

Answer 1

分析：（Ⅰ）要求{a_n}，{b_n}的通项，从f（x+1）=

1

2

f(x)中构造a_n+1与a_n的关系，b_n的通项公式，从f（x+1）=

1

2

f（x）中构造a_n+1与a_n的关系

an+1

an

=

1

2

，从g（x+y）-g（x）=2y，构造b_n+1-b_n=2，分别利用等差数列及等比数列的通项公式求a_n，b_n；
（Ⅱ）c_n=a_nb_n是等差数列与等比数列的积，用乘公比错位相减求和．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x+1)=

1

2

f(x)，f(0)=2
∴f(1)=

1

2

f(0)=1，
∵a_n=f（n），a_n+1=f（n+1），a1=f(1)=

1

2

f(0)=1

an+1

an

=

f(n+1)

f(n)

=

1

2

所以{a_n}，以

1

2

为公比，以1为首项的等比数列
∴an=(

1

2

)n-1
∵g（x+y）=g（x）+2y，∴g（x+1）-g（x）=2
b_n=g（n），∴b_n+1-b_n=g（n+1）-g（n）=2

1

2

Sn=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+2•(

1

2

)n-1-(2n-1)(

1

2

)n)
∵b₃=g（3）=5，∴b₁=1
数列{b_n}以1为首项，以2为公差的等差数列
b_n=1+（n-1）×2=2n-1
（Ⅱ）cn=anbn=(2n-1)•(

1

2

)n-1
S_n=c₁+c₂+…+c_n
=1•(

1

2

)0+3•( 

1

2

)1+ …+(2n-1)(

1

2

)n-1

1

2

sn=1•(

1

2

)1+3•(

1

2

)2+…+(2n-1)(

1

2

)n
∴Sn=6-

3+2n

2n-1

点评：本题主要考查等差、等比数列递推关系的基本方法，同时考查构造法及推理论证的能力，而乘公比错位相减求和是数列求和的一个难点与易错点．