Question

设对于任意的实数x，y，函数f（x），g（x）满足f（x+1）=

1

3

f（x），且f（0）=3，g（x+y）=g（x）+2y，g（3）=13，
n∈R⁺
（Ⅰ）求数列{f（n）}和{g（n）}的通项公式；
（Ⅱ）设C_n=g[

n

2

f（n）]，求数列{C_n}的前项和S_n；
（Ⅲ）设F（n）=S_n-3n，存在整数m和M，使得对任意正整数n不等式m＜F（n）＜M恒成立，求M-m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：取x=n，得f（n+1）=

1

3

f（n），故数列{f（n）}等比数列，取x=n，y=1，得g（n+1）-g（n）=2，故数列{g（n）}是等差数列，进而得到答案．
（Ⅱ）由题意可得：C_n=n(

1

3

)n-1+3，然后利用错位相减的方法求出数列的前n项和为Sn=

9

4

+3n-

2n+3

4

(

1

3

)n-1．
（Ⅲ）因为F（n）=S_n-3n，所以F（n）=Sn=

9

4

-

2n+3

4

(

1

3

)n-1，利用增函数的定义判断出数列是增数列，所以F（n）的最小值为F（1）=1．由极限的思想可得F（n）＜

9

4

，所以1≤F（n）＜

9

4

．因此当m＜1且M≥

9

4

时，不等式m＜F（n）＜M恒成立，进而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：取x=n，得f（n+1）=

1

3

f（n），取x=0，f（1）=

1

3

f（0）=1
故数列{f（n）}是首项是1，公比为

1

3

的等比数列，所以f（n）=(

1

3

)n-1．
取x=n，y=1，得g（n+1）=g（n）+2（n∈N），即g（n+1）-g（n）=2，
故数列{g（n）}是公差为2的等差数列，又g（5）=13，
所以g（n）=2n+3．
（Ⅱ）由题意可得：C_n=g[

n

2

f（n）]=n(

1

3

)n-1+3，
所以S_n；=1+2×

1

3

+3×（

1

3

）²+…+n×（

1

3

）^n-1+3n…①

1

3

S_n=

1

3

+2×（

1

3

）²+3×（

1

3

）³+…+n×（

1

3

）ⁿ+n…②，
所以①-②可得：

2

3

Sn=1+

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+…+（

1

3

）^n-1-n×（

1

3

）ⁿ+2n=

3

2

[1-(

1

3

)n]-n(

1

3

)n+2n，
所以Sn=

9

4

+3n-

2n+3

4

(

1

3

)n-1．
所以数列{C_n}的前项和Sn=

9

4

+3n-

2n+3

4

(

1

3

)n-1．
（Ⅲ）因为F（n）=S_n-3n，
所以F（n）=Sn=

9

4

-

2n+3

4

(

1

3

)n-1，
所以F（n+1）-F（n）=(n+1)(

1

3

)n＞0
所以F（n）是单调递增数列，那么F（n）的最小值为F（1）=1．
由于当n→+∞时，

2n+3

4

(

1

3

)n-1→0，所以当n→+∞时，F（n）→

9

4

，
因为

2n+3

4

(

1

3

)n-1＜0，所以F（n）＜

9

4

，所以1≤F（n）＜

9

4

．
因此当m＜1且M≥

9

4

时，不等式m＜F（n）＜M恒成立，
所以存在正数m=0，-1，-2…；M=3，4，5…，使得对任意的正整数，不等式m＜F（n）＜M恒成立．
此时，M-m的最小值为3．

点评：解决此类问题的关键是利用函数的赋值法求出数列的通项公式，数列掌握数列求出的方法以及求数列和的最值的方法，此题是数列与函数与不等式的综合题型属于难题．