Question

已知数列{a_n}的前n项和Sn=n2+2n，设数列{b_n}满足a_n=log₂b_n，
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）设G_n=a₁•b₁+a₂•b₂+…+a_n•b_n，求G_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列中a_n与 Sn关系an=

Sn     n=1 Sn-Sn-1    n≥2

解决．
（2）由（1）应求得a_n=2n+1，得bn=2an=22n+1，易知数列{b_n}是等比数列，求出首项、公比后依据公式计算即可．
（3）利用错位相消法求和计算．

解答：解：（1）∵Sn=n2+2n
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1；当n=1时，a₁=S₁=3，也满足上式，
∴综上得a_n=2n+1…（5分）
（2）由a_n=log₂b_n得bn=2an=22n+1，
∴

bn+1

bn

=

22n+3

22n+1

=4，
∴数列{b_n}是等比数列，其中b₁=8，q=4
∴Tn=23+25+…+22n+1=

8(1-4n)

1-4

=

8

3

(4n-1)…（10分）
（3）Gn=3•23+5•25+…+(2n+1)•22n+1
∴4Gn=3•25+5•27+…+(2n-1)•22n+1+(2n+3)•22n+3
两式相减得：-3Gn=3•23+(2•25+2•27…+2•22n+1)-(2n+1)•22n+3
即：-3Gn=24+(26+28…+22n+2)-(2n+1)•22n+3=24+

16(1-4n-1)

1-4

-(2n+1)•22n+3=

8-(48n+8)4n

3

∴Gn=

(48n+8)4n-8

9

…（15分）

点评：本题考查利用数列中a_n与 Sn关系求数列通项．等比数列的判定，公式法求和，错位相消法数列求和．考查转化、构造、计算能力．