Question

（本题满分14分）椭圆的对称中心在坐标原点，一个顶点为，右焦点与点的距离为。

 （1）求椭圆的方程；

 （2）是否存在斜率的直线：，使直线与椭圆相交于不同的两点满足，若存在，求直线的倾斜角；若不存在，说明理由。

Answer 1

详见解析

解析:

（1）依题意，设椭圆方程为，则其右焦点坐标为

     ，                               ………… 2分

由，得，

即，解得。                       ………… 4分

 又 ∵ ，∴ ，即椭圆方程为。 ……5分

（2）由知点在线段的垂直平分线上，

由消去得

即  （*）  ………… 7分

由，得方程（*）的，即方程（*）有两个不相等的实数根。

…………8分

设、，线段的中点，

则，，

 ，即  ……… 10分

，∴直线的斜率为，……11分

由，得，    …… 12分

∴ ，解得：，即，    …… 13分

又，故 ，或，

∴ 存在直线满足题意，其倾斜角，或。…… 14分