Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x=取得最大值2，方程f（x）=0的两个根为x₁、x₂，且|x₁-x₂|的最小值为π．
（1）求f（x）；
（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[-，]上的值域．

Answer 1

解：（1）由题意A=2，函数f（x）最小正周期为2π，即=2π，∴ω=1．
从而f（x）=2sin（x+φ），
∵f（）=2，
∴sin（+φ）=1，则+φ=+2kπ，即φ=+2kπ，k∈z
∵0＜φ＜π，∴φ=．
故f（x）=2sin（x+）．
（2）函数y=f（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=f（2x）的图象，
即g（x）=2sin（2x+），
当x∈[-，]时，2x+∈[-，]，
则sin（2x+）∈[-，1]，
故函数g（x）的值域是[-1，2]．
分析：（1）利用函数的最大值为2，可得A=2，利用|x₁-x₂|的最小值为π，可知函数的周期为2π，从而求得ω的值，最后代入点（，2）即可求得φ的值；
（2）先利用函数图象的伸缩变换理论求得函数g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象和性质求函数在闭区间上的值域即可
点评：本题主要考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象和性质，利用正弦函数图象和性质求三角函数值域的方法，属基础题