Question

11．已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为2的正方形且AA₁⊥底面ABCD，AA₁=4，E为BC的中点，F为CC₁的中点．
（1）求证：直线EF∥平面ABD₁；
（2）求三棱锥F-A₁EC₁的体积．

Answer 1

分析 （1）证明EF∥AD₁，利用线面平行的判定定理，即可证明直线EF∥平面ABD₁；
（2）三棱锥F-A₁EC₁的体积=三棱锥A₁-FEC₁的体积，求三棱锥F-A₁EC₁的体积．

解答 （1）证明：连接BC₁，则BC₁∥AD₁，
∵E为BC的中点，F为CC₁的中点．
∴EF∥BC₁，
∴EF∥AD₁，
∵EF?平面ABD₁，AD₁?平面ABD₁，
∴直线EF∥平面ABD₁；
（2）解：∵AA₁⊥底面ABCD，∴AA₁⊥AB，
∵AD⊥AB，AD∩AA₁=A，
∴AB⊥平面AD₁，
∵AA₁=4，AB=2
∴三棱锥F-A₁EC₁的体积=三棱锥A₁-FEC₁的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1×2$=$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查线面平行的判定定理，考查三棱锥F-A₁EC₁的体积，正确运用线面平行的判定定理是关键．