Question

已知：a＞0，b＞0，a+b=1，
（1）求证：

a+ 1 2

+

b+ 1 2

≤2； 
（2）求：

1

a

+

1

b

+

1

ab

的最小值．

Answer 1

分析：（1）由基本不等式可得ab≤

1

4

，故有

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤1，从而有  2+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，即（

a+ 1 2

+

b+ 1 2

）²≤4，可得不等式成立．
（2）根据基本不等式可得ab≤

1

4

，而

1

a

+

1

b

+

1

ab

=

2

ab

，从而求出所求．

解答：解：（1）证明：因为1=a+b≥2

ab

，所以ab≤

1

4

，所以 

1

2

（a+b）+ab+

1

4

≤1，
所以

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤1，从而有  2+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，
即：（a+

1

2

）+（b+

1

2

）+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，
即：（

a+ 1 2

+

b+ 1 2

）²≤4，所以原不等式成立．
（2）

1

a

+

1

b

+

1

ab

=

2

ab

，
∵a＞0，b＞0，a+b=1，
∴

ab

≤

a+b

2

=

1

2

，即ab≤

1

4

当且仅当a=b=

1

2

是等号成立
∴

1

a

+

1

b

+

1

ab

=

2

ab

≥8，即当a=b=

1

2

时，

1

a

+

1

b

+

1

ab

的最小值为8．

点评：本题考查用综合法证明不等式，得到：（a+

1

2

）+（b+

1

2

）+2

(a+ 1 2 )(b+ 1 2 )

≤4，是解题的关键．