Question

已知椭圆E：

x2

a2

+y2=1(a＞1)，过点A（0，-1）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）直线l：y=kx+1与椭圆E交于C、D两点，以线段CD为直径的圆过点M（-1，0），求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求得直线AB的方程为：x-ay-a=0，利用过点A（0，-1）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

，求得a的值，即可得到椭圆E的方程；
（Ⅱ）将直线l：y=kx+1代入椭圆E，消元可得（1+3k²）x²+6kx=0，求得C，D的坐标，利用

MC

•

MD

=0，即可求得直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，直线AB的方程为：x-ay-a=0
∵过点A（0，-1）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

，
∴

a

a2+1

=

3

2

∴a=

3

∴椭圆E的方程为

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），将直线l：y=kx+1代入椭圆E，消元可得（1+3k²）x²+6kx=0
∴x₁=0，x₂=-

6k

1+3k2

∴y₁=1，y₂=

1-3k2

1+3k2

，
∵以线段CD为直径的圆过点M（-1，0），
∴

MC

•

MD

=0
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴-

6k

1+3k2

+1+

1-3k2

1+3k2

=0
∴k=

1

3

∴直线l的方程为y=

1

3

x+1．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，将直线与椭圆方程联立是关键．