Question

如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？

 

 

Answer 1

即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大

【解析】设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cosα

＝5－4cosα，

于是，四边形OACB的面积为

S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2

＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)

＝sinα－cosα＋＝2sin＋.

因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，

四边形OACB面积最大