Question

已知F₁（0，-5），F₂（0，5），一双曲线上任意一点M满足||MF₁|-|MF₂||=8，则该双曲线的一条渐近线与曲线y=x²围成的封闭图形的面积为

 

．

Answer 1

分析：由题意求出双曲线的渐近线方程，利用定积分求双曲线的一条渐近线与曲线y=x²围成的封闭图形的面积，先由题设条件求出参数a，b，c，再求渐近线

解答：解：由题意知，c=5，a=4，故b=3，由此知此双曲线的渐近线方程为y=±

4

3

x，不妨研究y=

4

3

x与曲线y=x²围成的封闭图形的面积
y=

4

3

x与曲线y=x²的两个交点的坐标分别为（0，0），（

4

3

，

4

3

）
故此条渐近线与曲线y=x²围成的封闭图形的面积为

∫

4 3 0

(

4

3

x-x2) dx=（

2

3

x²-

1

3

x³）

|

4 3 0

=

2

3

×

16

9

-

1

3

×

64

27

=

32

81

，
该双曲线的一条渐近线与曲线y=x²围成的封闭图形的面积为

32

81

故答案为：

32

81

．

点评：本题考查圆锥曲线的综合，求解本题的关键是求出双曲线的渐近线方程，再注意到积分在求面积中的作用，用定积分求出面积．此题涉及的知识较多，综合性较强，用到了转化的思想，解题中根据题设条件与要解决的问题灵活转化，可以大大降低解题的难度．