题目内容

已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且|AF|+|BF|=2
2
，|AB|最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若圆：x2+y2=
2
3
的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．
（Ⅰ）设A（x0，y0）B（-x0，y0）F（c，0）（c2=a2+b）
则|AF|+|BF|=2a=2
2
∴a=
2
-----------------------------------------（1分）|AB|=
(2x0)2+(2y0)2
=2
x02+(1-
x02
a2
)b2
=2
b2+
c2x02
a2

∵0≤x02≤a2∴|AB|min=2b=2∴b=1所以有椭圆E的方程为
x2
2
+y2=1-----------------（5分）
（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+m
L与圆x2+y2=
2
3
相切，
∴
|m|
1+k2
=
6
3

∴m2=
2
3
(k2+1)-----------------（7分）
L的方程为y=kx+m代入
x2
2
+y2=1中得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
△=8（2k2+1-m2）＞0令P（x1，y1），Q（x2，y2），
x1+x2=
-4km
1+2k2
①
x1x2=
2m2-2
1+2k2
②
y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=
m2-2k2
1+2k2
③--------------------（10分）
OP
•
OQ
=x1x2+y1y2=
2m2-2
1+2k2
+
m2-2k2
1+2k2
=
3m2-2k2-2
1+2k2
=0
∴
OP
⊥
OQ
------------------------------------------------------（12分）
练习册系列答案
相关题目
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），焦点为F1、F2，双曲线G：x2-y2=m（m＞0）的顶点是该椭圆的焦点，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF1、PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D，已知三角形ABF2的周长等于8
2
，椭圆四个顶点组成的菱形的面积为8
2
．
（1）求椭圆E与双曲线G的方程；
（2）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1和k2，探求k1和k2的关系；
（3）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．
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已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），以F1（-c，0）为圆心，以a-c为半径作圆F1，过点B2（0，b）作圆F1的两条切线，设切点为M、N．
（1）若过两个切点M、N的直线恰好经过点B1（0，-b）时，求此椭圆的离心率；
（2）若直线MN的斜率为-1，且原点到直线MN的距离为4（
2
-1），求此时的椭圆方程；
（3）是否存在椭圆E，使得直线MN的斜率k在区间（-
2
2
，-
3
3
）内取值？若存在，求出椭圆E的离心率e的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
3
=1（a＞
3
）的离心率e=
1
2
．直线x=t（t＞0）与曲线 E交于不同的两点M，N，以线段MN 为直径作圆 C，圆心为 C．
 （1）求椭圆E的方程；
 （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值．
（2012•佛山二模）已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个交点为F1(-
3
，0)，而且过点H(
3
，
1
2
)．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
已知椭圆E：
x2
a2
+y2=1（a＞1）的离心率e=
3
2
，直线x=2t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）当圆C与y轴相切的时候，求t的值；
（Ⅲ）若O为坐标原点，求△OMN面积的最大值．

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