题目内容

某校设计了一个试验过关能力比赛的方案，规定：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，且分别按照题目要求独立完成，至少正确完成其中2题的才能过关，已知6道备选题中考生甲有4题能正确完成，2题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是 $数学公式$ ，且每题正确完成与否互不影响．
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生，谁的实验操作能力稳定性强，通过的可能性大？

（1）设甲、乙两考生正确完成题数分别为x₁和x₂．
∵x₁=1，2，3，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（x₁=2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（x₁=3）= $\text{[math]}$ ，
∴甲考生正确完成题数x₁的概率分布列为

x₁	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∵x₂=0，1，2，3，且 $\text{[math]}$ ，
P（x₂=1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴乙考生正确完成题数x₂的概率分布列为：

x₂	0	1	2	3
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（2）∵ $\text{[math]}$ ，
Ex₂= $\text{[math]}$ =2，
∴Ex₁=Ex₂，这表明甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．
∵ $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴Dx₁＜Dx₂，这表明x₁的取值比x₂的取值相对集中于均值2的周围，
因此甲生的实际操作能力比乙生强．
分析：（1）设甲、乙两考生正确完成题数分别为x₁和x₂．由x₁=1，2，3， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（x₁=2）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（x₁=3）= $\text{[math]}$ ，由此能求出甲考生正确完成题数x₁的概率分布列；x₂=0，1，2，3，且 $\text{[math]}$ ，P（x₂=1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由此能求出乙考生正确完成题数x₂的概率分布列．
（2）分别求出Ex₁和Ex₂，Dx₁和Dx₂，由Ex₁=Ex₂，知甲、乙两考生正确完成题数的平均取值相同．由Dx₁＜Dx₂，知x₁的取值比x₂的取值相对集中于均值2的周围，因此甲生的实际操作能力比乙生强．
点评：本题考查概率的计算和分布列的求法，考查利用数学期望和方差分析比较甲、乙两考生的实验操作能力．解题时要认真审题，注意数学期望和方差在实际问题中的灵活运用．