Question

【题目】（1）求函数在的最大值；

（2）证明：函数在有两个极值点，且.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用导数求出函数在上的单调性即可；

（2）首先利用导数求出的单调性，即可得到，然后分别证明，，，然后即可证明.

（1），则在上单调递增，

又，

所以在有唯一的零点.

当时，单调递减；

时，单调递增.

又，

所以在的最大值为.

（2），

则当时，单调递增，

又，

所以在有唯一的零点，

此时，时，；时，，

所以是极小值点，不妨令.

当时，，所以；

当，设.

由（1）知， 有唯一的零点，

则时，单调递减，即单调递减；

时，单调递增，即单调递增

又，

所以在有唯一的零点，

此时时，；时，，

所以是极大值点，即，

所以在有两个极值点，其中，，

且，由于，所以.

因为，，

所以，即.

又，所以，同理，

所以. .