Question

已知函数f（x）=（x+1）e^kx，（k为常数，k≠0）．
（Ⅰ）当k=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=（x+1）e^kx
∴f′（x）=e^kx+ke^kx（x+1）=e^kx（kx+k+1），k≠0；--（2分）
当k=1时，f（x）=（x+1）e^x，f′（x）=e^x（x+2），
令f′（x）＞0，∵e^x＞0，∴x＞-2，令f′（x）＜0，∵e^x＞0，∴x＜-2，
∴函数f（x）在（-∞，-2）递减，在（-2，+∞）递增．---（5分）
∴函数f（x）在x=-2时取得极小值f(-2)=-

1

e2

；----（7分）
（Ⅱ）由（1）知∴f′（x）=e^kx（kx+k+1），
令f′（x）≥0，∵e^kx＞0，∴kx+k+1≥0，----（9分）
由k≠0，∴当k＞0时，x≥-

k+1

k

=-1-

1

k

，
∴当k＞0时f（x）在(-1-

1

k

，+∞)递增，在(-∞，-1-

1

k

)递减；---（11分）
同理k＜0时，f（x）在(-1-

1

k

，+∞)递减，在(-∞，-1-

1

k

)递增．…（13分）