Question

如图四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，O为AC与BD的交点．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当E为PB中点时，求证：OE∥平面PDA，OE∥平面PDC．
（3）当PD=

2

AB且E为PB的中点时，求AE与平面PBC所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）通过四边形ABCD是正方形，证明PD⊥底面ABCD，然后证明AC⊥平面PDB，即可证明平面平面AEC⊥平面PDB．
（2）利用四边形ABCD是正方形，证明OE∥PD，然后OE∥平面PDA，同理可证OE∥平面PDC．
（3）D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz．设AB=1．通过

n • CB =0 n • PC =0

求出平面PBC的一个法向量为

n

由

n • CB n • PC

设AE与平面PBC所成的角θ，则sinθ=

| n • AE |

| n || AE |

，求出AE与平面PBC所成的角的正弦值为

6

3

．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PDB，
又∵AC?平面AEC
∴平面平面AEC⊥平面PDB．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OD，在PBD中，
又∵PE=BE
∴OE∥PD，
又∵OE?平面PAD，PD?平面PAD
∴OE∥平面PDA，同理可证OE∥平面PDC．
（3）∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥DA，PD⊥DC，
又∵DA⊥DC
所以，可以D为坐标原点建立如图的空间直角坐标系D-xyz．设AB=1．则
D（0，0，0），A（1，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），P（0，0，

2

），E(

1

2

，

1

2

，

2

2

)
从而，

AE

=(-

1

2

，

1

2

，

2

2

)，

CB

=(1，0，0)，

PC

=(0，-1，

2

)
设平面PBC的一个法向量为

n

=（x，y，z）．
由

n • CB =0 n • PC =0

得

x=0 -y+ 2 z=0

令z=1，得

n

(0，

2

，1)
设AE与平面PBC所成的角θ，则sinθ=

| n • AE |

| n || AE |

，
sinθ=

| 2 2 + 2 2 |

3 × 1 4 + 1 4 + 2 4

=

2

3

=

6

3

AE与平面PBC所成的角的正弦值为

6

3

．

点评：本题考查直线与平面的位置关系，平面与平面垂直，直线与盆吗所成角的求法，考查空间想象能力，计算能力．