Question

已知函数f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由于是高次函数，所以用导数法，先求导，令f′（x）=0分二种情况讨论：当判别式△≤0时为增函数，．当△＞0时，由两个不同的根，则为单调区间的分水岭．
（II）先由函数求导，再由“函数f（x）在区间(-

2

3

，-

1

3

)内是减函数”转化为“f'（x）=3x²+2ax+1≤0在(-

2

3

，-

1

3

)恒成立”，进一步转化为最值问题：2a≥

-1-3x2

x

在(-

2

3

，-

1

3

)恒成立，求得函数的最值即可．

解答：解：（1）f（x）=x³+ax²+x+1求导：f'（x）=3x²+2ax+1
当a²≤3时，△≤0，f'（x）≥0，f（x）在R上递增
当a²＞3，f'（x）=0求得两根为x=

-a± a2-3

3

即f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)递增，(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)递减，(

-a+ a2-3

3

，+∞)递增
（2）f'（x）=3x²+2ax+1≤0在(-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
即2a≥

-1-3x2

x

在(-

2

3

，-

1

3

)恒成立．
可知

-1-3x2

x

在(-

2

3

，-

3

3

)上为减函数，在(-

3

3

，-

1

3

)上为增函数．

-1-3x2

x

＜4．
所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．

点评：本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．（2）可以利用 f'（-

2

3

）≤0  且f'（-

1

3

）≤0，所以a≥2．a的取值范围是[2，+∞）．解答．