题目内容
我们用部分自然数构造如下的数表：用aij(i≥j)表示第i行第j个数(i、j为正整数)，使ail=aii=i ；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外，如图)，设第n(n为正整数)行中各数之和为bn．
（1）试写出b2一2b1；，b3-2b2，b4-2b3,b5-2b4，并推测bn+1和bn的关系(无需证明)；
（2）证明数列{bn+2}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式bn；
（3）数列{ bn}中是否存在不同的三项bp，bq，br(p，q，r为正整数)恰好成等差数列?若存在求出P，q，r的关系；若不存在，请说明理由．
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（1）bn+1-2 bn=2（2）bn =3×2n-1-2（3）不存在
解析:
（1）bl=1,；b2=4；b3=10；b4=22；b5=46：
可见：b2-2 bl=2；b3-2 b2=2；b4-2 b3=2；b5-2 b4=2
猜测：bn+1-2 bn=2 (或bn+1=2 bn+2或bn+1- bn=3×2n-1)
（2）由（1） 
所以{bn+2}，是以b1+2=3为首项，2为公比的等比数列，
∴ bn+2=3×2n-1 ,即bn =3×2n-1-2。。-
(注：若考虑，
且不讨论n=1，扣1分)
（3）若数列{ bn }中存在不同的三项bp, bq , br(p,q,r∈N)恰好成等差数列，不妨设p>q>r,显然，{ bn }是递增数列，则2 bq= bp, + br
即2×（3×2q-1-2）=（3×2p-1-2）+（3×2r-1-2）,于是2×2q-r=2q-r+1
由p,q,r∈N且p>q>r知，q-r≥1，p-r≥2
∴等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立，故数列{bn}中不存在不同的三项bp，bq，br(p,q,r∈N)恰好成等差数列--
我们用部分自然数构造如下的数表：用aij（i≥j）表示第i行第j个数（i、j为正整数），使ai1=aii=i；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和（第一、二行除外，如图），设第n（n为正整数）行中各数之和为bn．
表示第
行第
个数（
为正整数），使
；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外，如图)，设第
（
.
，并推测
和
是等比数列，并求数列
的通项公式
（
为正整数）恰好成等差数列？若存在，求出
表示第
行第
个数为整数
，使
；每行中的其余各数分别等于其‘肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外，如图)，设第
(
。
并推测
和
是等比数列，并求数列
的通项公式
恰好成等差数列？若存在求出
的关系；若不存在，请说明理由。