Question

（08年静安区质检文）我们用部分自然数构造如下的数表：用表示第行第个数（为正整数），使；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外，如图)，设第（为正整数）行中各数之和为.

(1)试写出，并推测和的关系(无需证明)；

(2)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

(3)数列中是否存在不同的三项（为正整数）恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

解析：(1)；(或)；

事实上，

 

即；                           

(2)由(1) ，                                          

所以是以为首项，为公比的等比数列，

∴，即

(注：若考虑，且不讨论，扣1分)             

 

(3)若数列中存在不同的三项恰好成等差数列，不妨设，

显然，是递增数列，则                

即，于是 

由且知，，

∴等式的左边为偶数，右边为奇数，不成立，故数列中不存在不同的三项恰好成等差数列.