题目内容

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有： $数学公式$ ．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}是等差数列，数列{b_n}是否为等比数列？若是，请求出通项公式，若不是，请说明理由．

解：（1）依题意，数列{b_n}的通项公式为 $\text{[math]}$ ，…（2分）
由 $\text{[math]}$ ，
可得 $\text{[math]}$ （n≥2），
两式相减可得 $\text{[math]}$ ，即a_n=n．…（5分）
当n=1时，a₁=1，从而对一切n∈N^*，都有a_n=n．…（6分）
所以数列{a_n}的通项公式是a_n=n．…（7分）
（2）法1：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d．…（8分）
由（1）得， $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （n≥2）
∴ $\text{[math]}$ …（11分）
要使 $\text{[math]}$ 是一个与n无关的常数，当且仅当a₁=d≠0…（12分）
即：当等差数列{a_n}的满足a₁=d≠0时，数列{b_n}是等比数列，其通项公式是 $\text{[math]}$ ；…（13分）
当等差数列{a_n}的满足a₁≠d时，数列{b_n}不是等比数列． …（14分）
法2：设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d．…（8分）
由（1）得， $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ （n≥2），若数列{b_n}是等比数列，
则 $\text{[math]}$ …（11分）
要使上述比值是一个与n无关的常数，须且只需a₁=d≠0．…（12分）
即：当等差数列{a_n}的满足a₁=d≠0时，数列{b_n}是等比数列，其通项公式是 $\text{[math]}$ ，…（13分）
当等差数列{a_n}的满足a₁≠d时，数列{b_n}不是等比数列． …（14分）
分析：（1）确定数列{b_n}的通项，利用再写一式，两式相减的方法，可求数列{a_n}的通项公式；
（2）确定b_n的表达式，利用要使 $\text{[math]}$ 是一个与n无关的常数，当且仅当a₁=d≠0，即可得到结论．
点评：本题考查数列的通项，考查等比数列的确定，考查学生的计算能力，属于中档题．