题目内容
12．已知函数$f（x）=（x-1）（ax-b），f（2-x）=f（2+x），g（x）={log_{\frac{b}{a}}}（{x^2}-4x+13）$，则函数g（x）的最小值为（ ）| A． | 2log23 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 不确定 |
分析 求出f（x）的对称轴方程，由题意可得f（x）关于x=2对称，即有b=3a，可得g（x）=log3（x2-4x+13），由配方和对数函数的单调性，即可求得最小值．
解答 解：函数f（x）=（x-1）（ax-b）=ax2-（a+b）x+b，
对称轴为x=$\frac{a+b}{2a}$，
由f（2-x）=f（2+x），可得f（x）的对称轴为x=2，
即有a+b=4a，即b=3a，
则g（x）=log3（x2-4x+13）=log3[（x-2）2+9]，
由（x-2）2+9≥9，可得log3[（x-2）2+9]≥log39=2，
当x=2时，g（x）取得最小值2．
故选：B．
点评 本题考查函数的对称性和单调性的运用，考查函数的最值的求法，注意运用二次函数的值域求法和对数函数的单调性，属于中档题．
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