Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

（1）∵a_n+1=2a_n+1，（n∈N^*），
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴

an+1+1

an+1

=2，
∴数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列，
（2）由（1）知，数列{a_n+1}是等比数列，且q=2，首项为a₁+1=2，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1，
∴数列{a_n}的前n项和s_n=（2+2²+…+2ⁿ）-n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-n-2．