Question

已知集合A={x||x-

π

3

|≤

π

2

}，集合B={y|y=-

1

2

cos2x-2asinx+

3

2

，x∈A}，其中

π

6

≤a≤π，设全集I=R，若使B⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：解绝对值不等式求得A，计算y=（sinx-a）²+1-a²，-

1

2

≤sinx≤1，由B⊆A，可得 y_max≤

5π

6

，且 y_min≥-

π

6

．再分当

π

6

≤a≤1和当 1＜a≤π两种情况，求得y的最大值和最小值，从而求得a的范围．

解答：解：∵集合A={x||x-

π

3

|≤

π

2

}={x|-

π

6

≤x≤

5π

6

}，又

π

6

≤a≤π，
集合B={y|y=-

1

2

cos2x-2asinx+

3

2

，x∈A}={ y|y=sin²x-2asinx+1，x∈A}={y|y=（sinx-a）²+1-a²，-

1

2

≤sinx≤1 }，
又∵B⊆A，∴y_max≤

5π

6

，y_min≥-

π

6

．
①当

π

6

≤a≤1时，y_min=1-a²，y_max=(-

1

2

-a)2+1-a²=a+

5

4

，
∵此时B≠∅，∴y∈[1-a²，a+

5

4

]．
∴

1-a2≥- π 6 a+ 5 4 ≤ 5π 6 π 6 ≤a≤1

，解得

π

6

≤a≤1．
②当 1＜a≤π时，y_min=（1-a）²+1-a²=2-2a，y_max=(-

1

2

-a)2+1-a²=a+

5

4

，
∴

2-2a≥- π 6 a+ 5 4 ≤ 5π 6 1＜a≤π

，解得 1＜a≤1+

π

12

．
综合①、②可得，

π

6

≤a≤1+

π

12

，故a的范围是[

π

6

，

π

12

]．

点评：本题主要考查求集合中参数的取值范围，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．