题目内容
已知函数f（x）=lnx﹣
，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数h（x）=x2﹣mx+4，当a=2时，若∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立，求实数m的取值范围．
考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且
，当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；当a＞0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a．由此能够判断f（x）的单调性．
（Ⅱ）由g（x）=ax﹣
，定义域为（0，+∞），知
﹣
=
，因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，由此能够求出正实数a的取值范围．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣
，
，由g′（x）=0，得x=
或x=2．当
时，g′（x）≥0当x
时，g′（x）＜0．所以在（0，1）上，
，由此能求出实数m的取值范围．
解答：
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），且
，
①当a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）上单调递增；
②当a＜0时，由f′（x）＞0，得x＞﹣a；由f′（x）＜0，得x＜﹣a；
故f（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．
（Ⅱ）g（x）=ax﹣
，g（x）的定义域为（0，+∞），
﹣
=
，
因为g（x）在其定义域内为增函数，所以∀x∈（0，+∞），g′（x）≥0，
∴ax2﹣5x+a≥0，
∴a（x2+1）≥5x，
即
，
∴
．
∵
，当且仅当x=1时取等号，
所以a
．
（Ⅲ）当a=2时，g（x）=2x﹣
，
，
由g′（x）=0，得x=
或x=2．
当
时，g′（x）≥0；当x
时，g′（x）＜0．
所以在（0，1）上，
，
而“∃x1∈（0，1），∀x2∈[1，2]，总有g（x1）≥h（x2）成立”等价于
“g（x）在（0，1）上的最大值不小于h（x）在[1，2]上的最大值”
而h（x）在[1，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}，
所以有
，
∴
，
∴
，
解得m≥8﹣5ln2，
所以实数m的取值范围是[8﹣5ln2，+∞）．
点评：
本题考查在闭区间上求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
