Question

如图，抛物线y=-

1

2

x2上有两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且

OA

•

OB

=0，又

OM

=(0，-2)．
（1）求证：

AM

∥

AB

；
（2）若

MA

=-2

MB

，求AB所在直线方程．

Answer 1

分析：（1）先确定x₁x₂=-4，再用坐标表示向量，利用向量共线的条件，即可得到结论；
（2）利用向量条件，确定A的坐标，再利用两点式，即可求AB所在直线方程．

解答：（1）证明：∵A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），且

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+

1

4

（x₁x₂）²=0
∴x₁x₂=-4
∵

AM

=(-x1，-2-y1)=（-x₁，-2+

1

2

x12），

AB

=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，-

1

2

x12+

1

2

x22）
∴（-x₁）（-

1

2

x12+

1

2

x22）+（x₂-x₁）（-2+

1

2

x12）=0
∴

AM

∥

AB

；
（2）解：∵

MA

=-2

MB

，∴（x₁，2-

1

2

x12）=-2（x₂，2-

1

2

x22）
∴x₁=-2x₂，
∵x₁x₂=-4，∴x₂=

2

∴x₁=-2x₂=-2

2

∴y₁=-

1

2

x12=-4，即A（-2

2

，-4）
∴AB所在直线方程为

y+2

-4+2

=

x

-2 2

，即y=

2

2

x-2．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．