Question

如图，抛物线y=ax²-5ax+4经过△ABC的三个顶点，已知BC∥x轴，点A在x轴上，点C在y轴上，且AC=BC．
（1）写出A，B，C三点的坐标并求抛物线的解析式；
（2）探究：若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点，是否存在△PAB是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P坐标；不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在抛物线线y=ax²-5ax+4中，令x=0可得点C坐标，由BC∥x轴可得B和C关于对称轴对称对称，从而可求B，由点A在x轴上及AC=BC=5可求A，把点A坐标代入y=ax²-5ax+4中可求a，进而可求抛物线的方程
（2）分三类情形考虑：①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个）②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P₃AB．分别进行求解P的坐标

解答：解：（1）在抛物线线y=ax²-5ax+4中，令x=0可得点C坐标为（0，4），抛物线的对称轴是x=

5

2

∵BC∥x轴
∴B和C关于直线x=

5

2

对称，从而有B（5，4）
∵点A在x轴上  AC=BC=5
∴A（-3，0）…（3分）
把点A坐标代入y=ax²-5ax+4中，解得a=-

1

6

∴y=-

1

6

x2+

5

6

x+4…（5分）
（2）存在符合条件的点P共有3个．以下分三类情形 探索．
设抛物线对称轴与x轴交于N，与CB交于M．
过点B作BQ⊥x轴于Q，易得BQ=4，AQ=8，AN=5.5，BM=

5

2

①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个：△P₁AB．∴AB²=AQ²+BQ²=8²+4²=80
在 Rt△ANP₁中，P1N=

A P 2 1 -AN2

=

AB2-AN2

=

80-(5.5)2

=

199

2

∴P1(

5

2

，-

199

2

)（7分）
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个：△P₂AB．
在 Rt△BMP₂中，MP2=

B P 2 2 -BM2

=

AB2-BM2

=

80- 25 4

=

295

2

∴P2(

5

2

，

8- 295

2

)（9分）
③以AB为底，顶角为角P的△PAB有1个，即△P₃AB．
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于P₃，此时平分线必过等腰△ABC的顶点C．
过点P₃作P₃K垂直y轴，垂足为K，显然 Rt△P₃CK∽Rt△BAQ．∴

P3K

CK

=

BQ

AQ

=

1

2

．∵P₃K=2.5∴CK=5于是OK=1P3(

5

2

，-1)（11分）
所有符合条件的点P坐标为(

5

2

，-

199

2

)，(

5

2

，

8- 295

2

)、(

5

2

，-1)…（12分）
注：第（3）小题中，只写出点P的坐标，无任何说明者不得分．

点评：本题主要考查了由抛物线的性质求解抛物线的方程，及直线与抛物线位置关系的应用，解题（2）要求考生具备较强的逻辑推理与运算的能力．